απειροστικός λογισμός

Ένας από τους πιο βασικούς και δημιουργικούς κλάδους των μαθηματικών. Η προσφορά του στον ανθρώπινο πολιτισμό, ανεξάρτητα από τη γοητευτική ομορφιά των εννοιών και των μεθόδων του που αφορά τους επαΐοντες, είναι τεράστια. Γενικά, η οφειλή της επιστήμης στον α.λ. είναι πολύ μεγάλη, χάρη στις πολυάριθμες εφαρμογές του στους διάφορους κλάδους της. Αστρονομία, μηχανική, φυσική, χημεία, βιολογία, ηλεκτρονική επιστήμη, οικονομικές επιστήμες, η τεχνολογία γενικά, ακόμα και η ιατρική, άμεσα ή έμμεσα, χρωστούν πολλά στον α.λ. Ο κλάδος είναι σχετικά νέος· η οριστική του διαμόρφωση άρχισε μόλις κατά ον 17o αι. με τις εργασίες του Λάιμπνιτς (1646-1716) και του Νεύτωνα (1643-1727), που δίκαια θεωρούνται οι θεμελιωτές του. Θα ήταν όμως πολύ άδικο ιστορικά να μη γίνει αναφορά με έμφαση στο ότι βασικές ιδέες του α.λ. ανάγονται στον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.). Η μέθοδος της εξάντλησης,που ο μεγάλος Αρχιμήδης επινόησε, διαμόρφωσε και εφάρμοσε για τον υπολογισμό όγκων και εμβαδών, είναι η μακρινή πρόγονος της έννοιας του ορίου, ακριβέστερα της οριακής τιμής συνάρτησης ή –πιο σύγχρονα– της έννοιας της σύγκλισης. Λόγοι ιστορικοί θέλησαν ο σπόρος του Αρχιμήδη να βλαστήσει και να δώσει καρπούς 2.000 χρόνια αργότερα. Υπάρχει η πληροφορία ότι η μέθοδος της εξάντλησης έγινε γνωστή μόλις στις αρχές του 20ού αι. (πάπυρος του Χάιμπεργκ), δεν είναι όμως γνωστό αν η μέθοδος αυτή ήταν γνωστή στους Λάιμπνιτς και Νεύτωνα. Ανεξάρτητα όμως από το ποια είναι η ιστορική αλήθεια, η τιμή που ανήκει στους θεμελιωτές του α.λ. είναι πολύ μεγάλη. Μεγάλοι μέτοχοι σε αυτή την τιμή είναι, για να περιοριστούμε μέχρι και τον 19o αι., οι Γαλιλαίος, Κοσί, Καβαλιέρι, Ντεκάρ, Όιλερ, Φουριέ, Φερμά, Γκάους, Χίλμπερτ, Λαγκράζ, Πασκάλ, Ρίμαν, Ρόμπερβαλ, Τορικέλι, Βερονέζε, Γουάλις, Βάιερστρας κ.ά. Η ονομασία α. οφείλεται στην έννοια απειροστό, που εισήγαγαν και χρησιμοποίησαν ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτων. Στα σύγχρονα βιβλία α.λ., η λέξη έχει σχεδόν εξαφανιστεί και η σύγχρονη μορφή του κλάδου πολύ λίγο θυμίζει την αρχική του μορφή· παρέμειναν μόνο μερικές λέξεις (ονόματα εννοιών), όπως όριο (μάλιστα, οριακή τιμή), παράγωγος, ολοκλήρωμα και μερικά σύμβολα, όπως τα dy/dx (για τον συμβολισμό της παραγώγου), (για τον συμβολισμό του ολοκληρώματος) κ.ά. Η σύγχρονη μορφή του α.λ. οφείλεται στην κριτική των θεμελίων του, ιδιαίτερα από τους Κοσί, Χίλμπερτ και Βάιερστρας, κατά τον 19o αι. Τρία είναι τα κύρια μέρη του α.λ., γνωστά με τους τίτλους διαφορικός λογισμός, ολοκληρωτικός λογισμός και διαφορικές εξισώσεις. Γι’ αυτά τα μέρη θα γίνει λόγος αμέσως παρακάτω (άλλες προεκτάσεις και μέρη του α.λ., όπως ο λογισμός των μεταβολών και η συναρτησιακή ανάλυση, θα μνημονευθούν ιδιαίτερα στις κατάλληλες θέσεις). Στην ανάπτυξη που ακολουθεί για τα τρία κύρια μέρη του α.λ., δίνεται κάπως σύγχρονη μορφή, όσο επιτρέπει ο σκοπός μιας εγκυκλοπαίδειας. διαφορικός λογισμός. Η βασική έννοια σε αυτό το μέρος είναι η έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης (η οποία στηρίζεται στην έννοια της οριακής τιμής μιας συνάρτησης). Η έννοια αυτή γεννήθηκε αρχικά από την προσπάθεια να οριστούν αυστηρά οι ενορατικά φυσικές έννοιες στιγμιαία ταχύτητα στη μηχανική και εφαπτομένη καμπύλης στη γεωμετρία. Η έννοια αυτή, όπως έχει σήμερα αποκρυσταλλωθεί ορίζεται με τον εξής τρόπο: Έστω f μια συνάρτηση με τις τιμές της πραγματικούς αριθμούς, ορισμένη σε ένα διάστημα της ευθείας των πραγματικών αριθμών, έστω το Ι (παντού πιο κάτω η f και το Ι νοούνται με την εδώ έννοια? σε διαφορετική περίπτωση, θα το διασαφηνίζουμε). Έστω x₀ ένα σημείο του I και Ι₀ το σύνολο που προκύπτει από το Ι, όταν του αφαιρέσουμε το σημείο x₀. Τότε, η παράσταση έχει έννοια πραγματικού αριθμού για κάθε x από το Ι₀ (δηλαδή από το I με x ≠ x₀), ενώ δεν έχει έννοια για x = x₀. Έστω ότι υπάρχει η οριακή τιμή: και ότι είναι ένας πραγματικός αριθμός, έστω κ. Αυτός o κ ονομάζεται η παράγωγος της f στο σημείο x₀ (είτε για x = x₀) και συμβολίζεται είτε είτε Df (x₀) είτε f’(x₀). Παλαιότερα, συνηθιζόταν να γράφεται: Δf είτε Δf(x) αντί f(x) – f(x₀) και Δx αντί x – x₀. To Δx ονομαζόταν η αύξηση της μεταβλητής και το Δf η αύξηση της συνάρτησης f. Αντί λοιπόν , γραφόταν: Δf / Δx (πηλίκο αυξήσεων). Οι συμβολισμοί αυτοί ανάγονται στην αρχή της ανάπτυξης του α.λ. (Λάιμπνιτς, Νεύτων), σήμερα όμως δεν χρησιμοποιούνται σχεδόν καθόλου (συναντώνται ακόμα μόνο σε βιβλία που προορίζονται για τεχνικούς, αλλά και εκεί σπανιότερα). Έστω ότι μια συνάρτηση f παραγωγίζεται (δηλαδή έχει παράγωγο) σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, έστω I. Τότε ορίζεται μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού της το Ι και τιμή της στο τυχόν x από το I την παράγωγό της σε αυτό το σημείο x. Η συνάρτηση αυτή συμβολίζεται συνήθως με: , xεΙ είτε f’ (x), xεI, και ονομάζεται η παράγωγος της f. Ο συμβολισμός προήλθε από τον Δf / Δx που είδαμε τη σημασία του, και οφείλεται στον Λάιμπνιτς. Η ονομασία διαφορικός προήλθε από την έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης, που χρησιμοποιούσαν (χωρίς αυστηρό oρισμό) στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης του α.λ. Η έννοια αυτή ορίζεται (χωρίς μεγάλη αυστηρότητα) ως εξής: έστω ότι η συνάρτηση f έχει παράγωγο στο σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της I την f’(x₀). Έστω και ένα άλλο σημείο του I, το x₀ + h· το γινόμενο f’ (x₀)?h ονομάζεται το διαφορικό της f στο σημείο x₀ και συμβολίζεται με df(x₀), είναι δηλαδή –εξ ορισμού– df(x₀) = f’(x₀)•h. Αν f(x) είναι η x, τότε είναι dx = 1•h επειδή f(x) = x’ = 1· γι’ αυτό η προηγούμενη ισότητα γράφεται: df(x0) = f’(x₀)•dx και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: όπου το δεύτερο μέλος είναι το πηλίκο του διαφορικού της f στο σημείο x₀ διά του διαφορικού του x (όπως ονομάζεται συνήθως το dx). Έτσι, ο συμβολισμός της παραγώγου της f στο σημείο x δίνει την παράγωγο ως ένα πηλίκο. Η παράγωγος λοιπόν f’(x) εμφανίζεται ως ένας συντελεστής αναλογίας, όταν γράφουμε dx(x) = f’(x)•dx. Η σημασία του διαφορικού df(x) στην πράξη είναι η μεταβολή f(x + h) – f(x) της f μεταξύ των τιμών x και x + h που μπορεί να γραφεί ως εξής: f(x + h) – f(x) = df(x) + e(h)•h, όπου e(h) → 0 (για h → 0), όπως εύκολα μπορεί να εξηγηθεί. Έτσι για h απόλυτα πολύ μικρό το διαφορικό df(x) αντιπροσωπεύει, με ικανή προσέγγιση, την όλη μεταβολή f(x + h) – f(x) της f. Η έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης προέκυψε, όπως ήδη αναφέραμε, από την προσπάθεια να οριστεί αυστηρά η έννοια στιγμιαία ταχύτητα στη μηχανική και η έννοια εφαπτόμενη καμπύλης στη γεωμετρία. Έστω ότι ένα σημείο κινείται πάνω σε έναν άξονα x’Ox (Σχ. 1) και ότι σε κάποια χρονική στιγμή το t₀ βρίσκεται στη θέση s(t₀) (το διάστημα του χρόνου t). Αν σε μια άλλη χρονική στιγμή t(≠t₀) το σημείο βρίσκεται στη θέση s(t), τότε το πηλίκο αυξήσεων δηλαδή –με την παλαιότερη γραφή – Δs / Δt ονομάζεται στη φυσική η μέση ταχύτητα του κινούμενου σημείου στη χρονική στιγμή t₀, είναι όμως κάτι όχι μονοσήμαντα ορισμένο (εξαρτάται από την τιμή t). Η οριακή τιμή είναι –εξ ορισμού– η ταχύτητα κατά τη χρονική στιγμή t₀ και δεν είναι άλλη από την παράγωγο s’ (t₀). Επίσης, έστω ότι η γραφική παράσταση Γ μιας συνάρτησης f, ορισμένης σε ένα διάστημα I, είναι όπως στο Σχ. 2. Έστω ένα σημείο x₀ από το I και ένα άλλο x από το I με x ≠ x₀. Τότε η ευθεία των δύο σημείων Μ₀ = (x₀, f[x₀]) και Μ = (x, f[x]) είναι μια τέμνουσα της Γ. Το πηλίκο αυξήσεων ορίζει την κατεύθυνση της ευθείας Μ₀Μ. Η ενόραση μας πληροφορεί ότι αν το σημείο Μ πλησιάζει όλο και πιο πολύ στο σημείο Μ₀, τότε η τέμνουσα Μ₀M της Γ στρέφεται γύρω από το Μ₀ και πλησιάζει όλο και πιο πολύ να λάβει μία τέτοια θέση, ώστε να έχει, τουλάχιστον σε μια περιοχή του σημείου Μ₀, μόνο ένα κοινό σημείο με την καμπύλη Γ. Οι ενορατικές αυτές παρατηρήσεις οδήγησαν στην έννοια της παραγώγου. Πραγματικά, οι προηγούμενες σκέψεις οδηγούν, από μαθηματική άποψη, στο να αναζητήσουμε την οριακή τιμή του πηλίκου αυξήσεων δηλαδή του συντελεστή κατεύθυνσης της χορδής Μ₀Μ, και να τη χαρακτηρίσουμε ως τον συντελεστή κατεύθυνσης της εφαπτόμενης της Γ στο σημείο Μ₀. Γι’ αυτό σήμερα ορίζεται ως η εφαπτόμενη σε ένα σημείο Μ₀ μιας καμπύλης Γ, που είναι γραφική παράσταση (σε ένα ορθογώνιο σύστημα) μιας συνάρτησης f, η ευθεία, που περνάει από το σημείο Μ₀ = (x₀, f[x₀]) και έχει συντελεστή διεύθυνσης την παράγωγο f(x₀). Φυσικά αυτό γίνεται για μια συνάρτηση f, που τουλάχιστον στο σημείο που θεωρούμε, έχει πρώτη παράγωγο. Η παράγωγος f’(x₀) ονομάζεται και η κλίση της καμπύλης Γ στο σημείο της Μ₀ = (x₀, f[x₀]). Έστω ότι υπάρχει η παράγωγος f’(x), xεI της συνάρτησης f(x), xεΙ. Αν υπάρχει η παράγωγος της συνάρτησης f’, τότε αυτή ονομάζεται η δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f”, είτε πληρέστερα: Ανάλογα ορίζονται οι έννοιες τρίτη παράγωγος, τετάρτη παράγωγος κ.ο.κ. Σε μια κίνηση ευθύγραμμη με νόμο διαστήματος s = s (t), tεI, η δεύτερη παράγωγος χαρακτηρίζει την επιτάχυνση της κίνησης κατά τη χρονική στιγμή t. Όταν πρόκειται για μια συνάρτηση f, η δεύτερή της παράγωγος f’’(x) σε ένα σημείο x συνδέεται με τη λεγόμενη καμπυλότητα της καμπύλης-γραφικής παράστασης της f στο σημείο x. Τα δύο προηγούμενα παραδείγματα χρήσης της έννοιας της παραγώγου συνάρτησης, εκτός από την ιστορική τους σημασία, δίνουν μια ιδέα της σπουδαιότητας της εφαρμογής της έννοιας στη μηχανική και στη γεωμετρία, αλλά και κάτι πολύ περισσότερο, αν λάβει κανείς υπόψη την εξής παρατήρηση: ας σκεφτούμε ένα οποιοδήποτε φυσικό φαινόμενο (όχι υποχρεωτικά κίνηση)· σε αυτό κάποιο φυσικό μέγεθος, έστω y, εμφανίζεται ως συνάρτηση κάποιου άλλου φυσικού μεγέθους, έστω x, και η παράγωγος χαρακτηρίζει την ταχύτητα μεταβολής του y ως προς το x. Η γνώση αυτής της ταχύτητας αποτελεί σπουδαία πληροφορία για την πορεία (την εξέλιξη) του φαινομένου. Αλλά και κάτι ακόμα πιο σπουδαίο για την καλύτερη γνώση αυτής της πορείας προκύπτει από το ότι, με τη βοήθεια της παραγώγου συνάρτησης είναι δυνατόν να βρεθούν και τα λεγόμενα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης και γενικότερα να μελετηθεί η μεταβολή της με μεγάλη λεπτομέρεια (με την υπόθεση βέβαια ότι η συνάρτηση παραγωγίζεται τουλάχιστον μία φορά). Ιδιαίτερα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και στην τεχνική, ο προσδιορισμός των μέγιστων και ελάχιστων μιας συνάρτησης και γενικότερα η λεπτομερής μελέτη της μεταβολής της παίζουν έναν εξαιρετικά σπουδαίο και πρακτικά χρήσιμο ρόλο. Τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης f, της οποίας υπάρχει τουλάχιστον η πρώτη παράγωγος, βρίσκονται με τρόπο που έχει ως αφετηρία του το εξής γεγονός: αν σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της αντιστοιχεί ως τιμή της f ένα τοπικό της μέγιστο ή ελάχιστο, τότε αυτή η τιμή x₀ είναι ρίζα της παραγώγου της, δηλαδή ισχύει: f’(x₀) = 0. Αυτό μεταφράζεται επάνω στην καμπύλη-γραφική παράσταση της Γ της f σε ένα ορθογώνιο σύστημα (Σχ. 3) με το ότι η εφαπτόμενη της Γ στο σημείο της με πρώτη συντεταγμένη x₀, είναι παράλληλη του άξονα x’x. Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν αρκεί να είναι f’(x₀) = 0 για να είναι βέβαιο ότι η τιμή f(x₀) είναι τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της f. Θα πρέπει επίσης f’’(x₀) > 0 για την περίπτωση τοπικού ελάχιστου και f’’(x₀) < 0 για το τοπικό μέγιστο. Έτσι, για παράδειγμα, το xo = 0 είναι το τοπικό ελάχιστο της f(x) = x₂ γιατί f’(x₀) = 2x₀ = 0 και f’’(x₀) = 2 > 0. Στο Σχ. 3 βλέπει κανείς ένα σημείο της Γ, που η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα x’Ox, χωρίς το σημείο αυτό να αντιστοιχεί σε ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της συνάρτησης f (της οποίας η Γ είναι γραφική παράσταση). Σημεία όπως αυτό ονομάζονται σημεία κάμψηςκαμπής της καμπύλης και για αυτά ισχύει ότι f’’(x₀) = 0. Η έννοια της παραγώγου δίνεται και γενικότερα όταν πρόκειται για μια συνάρτηση με μιγαδικές τις τιμές της, με μιγαδική ανεξάρτητη μεταβλητή και για ακόμα γενικότερες συναρτήσεις. O χώρος εδώ δεν δικαιολογεί τέτοιες προεκτάσεις. Ακόμα, αν έχουμε μια συνάρτηση με περισσότερες από μία μεταβλητές, π.χ. μια συνάρτηση πραγματική με δύο μεταβλητές φ(x,y), ορισμένη σε έναν τόπο του επιπέδου των δύο μεταβλητών x,y, τότε ορίζονται οι έννοιες: μερική παράγωγος της φ ως προς x και μερική παράγωγος της φ ως προς y. Έτσι, η μερική παράγωγος της φ ως προς x ορίζεται ως η παράγωγος της φ, όπου νοείται η y σταθερά, και ανάλογα ορίζεται η μερική παραγωγός της φ ως προς y. Αυτές συμβολίζονται με Ορίζονται επίσης μερικές παράγωγοι 2ης, 3ης κλπ. τάξης. Αν αναφερθούμε σε ένα σύστημα Oxyz του χώρου, τότε το σύνολο των σημείων [x,y,φ(x,y)] ονομάζεται μία επιφάνεια. Όπως η παράγωγος, όταν πρόκειται για μια συνάρτηση f μιας μεταβλητής, χαρακτηρίζει την εφαπτομένη της καμπύλης-γραφικής παράστασης της f, ανάλογα οι μερικές παράγωγοι χαρακτηρίζουν το ονομαζόμενο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας-γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ στο σύστημα Oxyz. Με τις παραγώγους δεύτερης τάξης χαρακτηρίζεται η έννοια καμπυλότητας μιας επιφάνειας, όπως η προηγούμενη (διαφορική γεωμετρία). ολοκληρωτικός λογισμός. Στον ολοκληρωτικό λογισμό βασική έννοια είναι η έννοια του ολοκληρώματος, όπως στον διαφορικό λογισμό η βασική έννοια είναι αυτή της παραγώγου. Η πρώτη στηρίζεται, όπως και η δεύτερη, στην έννοια του ορίου. Η πρώτη φάση στη δημιουργία του ολοκληρωτικού λογισμού χαρακτηρίζεται από την προσπάθεια να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός κυρτού μέρους του επιπέδου. Η ενόρασή μας αποδίδει σε κάθε κυρτό μέρος του επιπέδου έναν (θετικό) αριθμό, που χαρακτηρίζει την έκτασή του, το εμβαδόν του. Στην πραγματικότητα, όμως, η έννοια αυτή δεν είναι γι’ αυτόν που μυείται πρώτη φορά σε αυτή παρά μια ενορατική προέκταση της έννοιας εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου, που του είναι γνωστή ήδη από τα πρώτα σχολικά χρόνια. Έτσι, είναι πολύ φυσικό να θεωρήσουμε πως για να υπολογίσουμε με μια κάποια προσέγγιση φυσικά το εμβαδόν του μέρους ΑΓΔΒΑ του επιπέδου στο Σχ. 4, αρκεί να το χωρίσουμε σε ορθογώνια, όπως φαίνεται στα Σχ. 4 και 5 και να υπολογίσουμε έπειτα το άθροισμα των εμβαδών τους. Αυτό θα είναι κάτι μεγαλύτερο (για το Σχ. 4) από το αληθές εμβαδόν του μέρους ΑΓΔΒΑ του επιπέδου ως κάτι μικρότερο από αυτό για το Σχ. 5. Αυτές οι πρακτικές σκέψεις οδήγησαν στην έννοια του ολοκληρώματος και στον μαθηματικό ορισμό της έννοιας εμβαδόν. Ακριβώς με τέτοιες σκέψεις ο Αρχιμήδης κατόρθωσε να φτάσει στη μέτρηση του κύκλου, του όγκου της σφαίρας, του όγκου του κυλίνδρου κλπ., και γι’ αυτό πρέπει, όπως ήδη αναφέραμε, να θεωρείται o πατέρας του ολοκληρωτικού λογισμού. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα από το x = α έως το x = β και Γ η γραφική της παράσταση σε ένα ορθογώνιο σύστημα xOy (Σχ. 4 και 5). Έστω ακόμα ότι, όπως συμβαίνει στα σχήματα, είναι f(x) ?0 για όλα τα x από το α έως το β (η Γ, δηλαδή, βρίσκεται άνω του Ox). Αν χωρίσουμε το τμήμα ΑΒ σε ν μέρη με τα σημεία: α = x₀,x₁,..., x_ν-1, x_v = β και σχηματίζουμε τα ορθογώνια, όπως στα σχήματα, τότε για ένα σχήμα όπως το 4, το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων είναι: . Για ένα σχήμα όπως το 5, το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων είναι: Στην πρώτη περίπτωση το άθροισμα είναι μια προσέγγιση του εμβαδού του ΑΓΔΒΑ από πάνω και στη δεύτερη περίπτωση από κάτω. Έχει τώρα κανείς την εντύπωση, που υποβάλλεται από το σχήμα, ότι αν το ν αυξάνει απεριόριστα και τα διαστήματα: (x₀, x₁), (x₁, x₂),..., (xν–1, xν) τείνουν στο 0, τότε τα αθροίσματα (1) και (2) τείνουν στο εμβαδόν του μέρους ΑΓΔΒΑ του επιπέδου. Ακριβέστερα: ας συμβολίσουμε με λ_ν τη μέγιστη από τις διαφορές: x₁ – x₀, x₂ – x₁, ..., x_ν – x_ν-1, με Αν το άθροισμα (1) και με το άθροισμα (2). Έχει τότε κανείς την εντύπωση ότι ισχύει το εξής: αν λ_ν? 0 και E είναι το εμβαδόν του ΑΓΔΒΑ, τότε ισχύουν: Αν -> E και Κν -> E. Αυτό όμως δεν είναι ασφαλές? εξάλλου δεν έχουμε μέχρι στιγμής δώσει καμία έννοια μαθηματική στον όρο εμβαδόν. Μια βαθύτερη μελέτη του θέματος οδηγεί στο εξής συμπέρασμα: αν η συνάρτηση f ικανοποιεί ορισμένες υποθέσεις (κατάλληλες) και λ_ν? 0, τότε οι ακολουθίες Α_ν, ν = 1,2,... και B_ν, ν = 1,2,... συγκλίνουν με κοινό όριο έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, έστω I, δηλαδή ισχύουν: Αν -> I και Bv -> I. Αυτός o Ι ονομάζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α έως το β και συμβολίζεται, συνηθέστερα, με Αν η f, όπως στις ειδικές περιπτώσεις των Σχ. 4 και 5, ικανοποιεί και την f(x) ? 0 για κάθε x από το α μέχρι το β, τότε ορίζεται το μέρος του επιπέδου ΑΓΔΒΑ και τότε ονομάζεται εμβαδόν του το Ο προηγούμενος συμβολισμός του ολοκληρώματος προέκυψε από το ότι τα προηγούμενα αθροίσματα (1) και (2), αν οι διαφορές x₁ – x₀, x₂ – x₁, ..., x_v – x_ν–1 ληφθούν ίσες και καθεμία συμβολιστεί με Δx, τότε τα αθροίσματα (1) και (2) μπορεί να συμβολιστούν, συμβατικά, με το κοινό σύμβολο: (συμβολισμός του Λάιμπνιτς· το S είναι αρχικό της λέξης summa = άθροισμα). Το σύμβολο του ολοκληρώματος είναι ένα επιμηκυσμένο S. Μια έννοια συγγενής με την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος, αλλά και με την έννοια της παραγώγου είναι η έννοια αόριστο ολοκλήρωμα. Λέμε ότι μια συνάρτηση F, ορισμένη σε ένα διάστημα από α έως β, είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα ή μία παράγουσα άλλης συνάρτησης f, ορισμένης στο ίδιο διάστημα, εάν (και μόνο εάν) υπάρχει η παράγωγος F’ και ισχύει: F’(x) = f(x) για κάθε x από το κοινό διάστημα ορισμού των συναρτήσεων F και f. Συμβολικά γράφουμε: F(x) = ? f(x)dx. Αποδεικνύεται ότι αν F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f, τότε και κάθε συνάρτηση με τύπο: F(x) + c, όπου c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός (αυθαίρετος σταθερά), είναι επίσης ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f, ενώ άλλα αόριστα ολοκληρώματα της f δεν υπάρχουν. Οι δύο έννοιες, ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα, συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού (θεώρημα των Τορικέλι - Μπάροου), κατά το οποίο, κάτω από ορισμένες υποθέσεις, ισχύει: όπου F ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζεται ένα ορισμένο ολοκλήρωμα με τη βοήθεια του αντίστοιχου του αόριστου για μια πολύ ευρεία κλάση συναρτήσεων κοινής χρήσης. Η ανθρωπότητα έφτασε να αγγίξει με τον νου του μεγάλου Αρχιμήδη την έννοια ορισμένο ολοκλήρωμα δύο χιλιάδες χρόνια πριν από την εποχή που η ίδια δημιούργησε την αδελφή έννοια της παραγώγου. Ο ολοκληρωτικός λογισμός, μαζί με τον διαφορικό λογισμό, έδωσαν στον άνθρωπο ένα εξαίρετο μέσο, που άσκησε και ασκεί τεράστια επίδραση στην τεχνική πρόοδο. διαφορικές εξισώσεις. Με τον τίτλο αυτό χαρακτηρίζεται το τρίτο από τα τρία κύρια μέρη του α.λ. Μια διαφορική εξίσωση, η πιο απλή, είναι η εξής: y’ = f(x) είτε –με άλλη γραφή– dy = f(x)dx, όπου f γνωστή συνάρτηση. H προηγούμενη εξίσωση μεταφράζει το πρόβλημα: να βρεθεί συνάρτηση y, της οποίας να υπάρχει η παράγωγος y’ και να ισούται με τη γνωστή συνάρτηση f. Αν η f είναι συνεχής, τότε το πρόβλημα λύνεται και η λύση του εκφράζεται με τον τύπο: όπου αυθαίρετη σταθερά και α ένα σημείο από το πεδίο ορισμού της f. Περισσότερες λεπτομέρειες θα δοθούν στην ειδική θέση. Εδώ περιοριζόμαστε μόνο στα εξής: μια διαφορική εξίσωση εμφανίζεται γενικότερα με τη μορφή: φ(x,y,y’,..., y^ν) = 0 όπου φ γνωστή συνάρτηση. Η άγνωστη συνάρτηση y εμφανίζεται με παραγώγους της έως και την τάξη ν και είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής (συνήθης διαφορική εξίσωση). Πολλά προβλήματα της γεωμετρίας, της φυσικής και της τεχνικής οδηγούν σε διαφορικές εξισώσεις, μάλιστα πολλές φορές η άγνωστη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση με περισσότερες από μία μεταβλητές. Σε τέτοιες εξισώσεις εμφανίζονται μερικές παράγωγοι της ζητούμενης συνάρτησης (διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους). Ένα πρόβλημα που οδηγεί σε διαφορική εξίσωση είναι, π.χ., το πρόβλημα του υπολογισμού του μήκους ενός τόξου μιας καμπύλης με εξίσωση y = y(x), xεΙ (το I είναι ένα διάστημα). Η διαφορική εξίσωση δίνεται τότε με τη μορφή όπου s είναι το μήκος ενός τόξου της καμπύλης. Έτσι, αν ζητάμε το μήκος του τόξου από ένα σημείο 0 [x₁, y(x₁)] έως άλλο [x₂,y(x₂)], υπολογίζεται ότι είναι: Η προσφορά των διαφορικών εξισώσεων στις εφαρμογές είναι τεράστια. Ο κλάδος τελευταία έχει αναπτυχθεί εξαιρετικά με την καταλυτική επίδραση της ραγδαίας ανάπτυξης της τεχνολογίας, αλλά και από λόγους εσωτερικούς, οι οποίοι οφείλονται στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς υπήρξε ο εισηγητής και θεμελιωτής του απειροστικού λογισμού στη μαθηματική επιστήμη (μνημείο στη γενέτειρά του Λειψία της Γερμανίας).